ALCUNE LEZIONI DI MATEMATICA DEL QUARTO SUPERIORE
video IN LAVORAZIONE con la spiegazione di qualche lezione e con alcuni esercizi
Abbiamo definito le potenze nell'insieme dei numeri naturali (a ∈ N
n ∈ N) come moltiplicazione ripetuta:
an = a1·a2 · ... · an
Abbiamo poi esteso alle potenze all'insieme degli interi relativi (a ∈ Z)
n ∈ Z): Per il segno della base, valgono le regole dei segni
della moltiplicazione; mentre se l'esponente è negativo si
inverte la base.
Abbiamo poi esteso alle potenze con esponente razionale
(Q)
\(a^\frac{m}{n}=^n\sqrt{a^m}\) con a ∈ ℜ+
, m ∈ N
e n ∈ N+
Estendiamo, per approssimazione, la definizione alle potenze con esponente reale
(R) \(a^\sqrt{b}\)
con a ∈ ℜ+ e
b ∈ ℜ+
Abbiamo definito le potenze
Abbiamo definito le potenze
Abbiamo definito le potenze
ESERCIZI
Equazioni esponenziali
Disequazioni esponenziali
formula del cambiamento della base e numero di Nepero
formula del cambiamento della base e numero di Nepero
formula del cambiamento della base e numero di Nepero
Per risolvere
Per risolvere
Per risolvere
In questo video ripassiamo
Per la misura degli angoli introduciamo la circonferenza goniometrica che è una circonferenza con centro sull'origine di un sistema di riferimento e raggio = 1. Su questa circonferenza un angolo si rappresenta con un lato che è l'asse delle ascisse, il vertice nell'origine e il secondo lato si ricava con una rotazione antioraria.
ESERCIZI
Converti da gradi sessagesimali a gradi sessadecimali
Converti da gradi sessadecimali a gradi sessagesimali
Il radiante è una misura dell'angolo che si ricava, su una circonferenza, tramite il
rapporto tra l'arco su cui insiste e il raggio.
$${α=\frac{l}{r}}$$
Vale 1 quando l'arco è lungo come il raggio
( circa 57°).
Per passare da gradi a radianti (e viceversa) usiamo:
\({α°}={α_{rad}·\dfrac{180}{π}}\) e \({α_{rad}}={α°·\dfrac{π}{180}}\)
ESERCIZI
Converti da gradi a radianti
Converti da radianti a gradi
Riprendiamo ora la circonferenza goniometrica ed osserviamo che il lato che ruota intercetta un punto.
L'ascissa e l'ordinata del punto sono legate dal teorema di Pitagora: \({x^2+y^2}={1}\)
Sulla circonferenza goniometrica possiamo anche vedere che ritroviamo lo stesso punto quando all'angolo aggiungiamo
o togliamo degli angoli giro (periodo = 2π = 360°).
Per trovare la lunghezza di un arco usiamo: \({l}={α·r}\)
In un triangolo rettangolo si possono definire delle funzioni di angolo che sono:
\({senα=\dfrac{cat. opp.}{ipot.}}\)
\({cosα=\dfrac{cat. ad.}{ipot.}}\)
\({tgα=\dfrac{cat. opp.}{cat.ad.}}\)
Nella circonferenza goniometrica (ipot.=1) abbiamo \({x=cosα}\) e
\({y=senα}\)
Il seno e il coseno hanno valori compresi tra -1 e +1
Il coseno è una funzione pari, il seno è dispari
Abbiamo visto che il seno è una funzione dispari, con periodo
2π.
Il suo valore è compreso tra -1 e +1: \({-1≤senα≤+1}\)
Per tracciare il grafico della funzione seno prendiamo alcuni angoli particolari, calcoliamo i
valori del seno corrispondenti, e riportiamo i dati trovati su un grafico.
Abbiamo visto che il coseno è una funzione pari, con periodo
2π.
Il suo valore è compreso tra -1 e +1: \({-1≤cosα≤+1}\)
Per tracciare il grafico prendiamo alcuni angoli particolari, calcoliamo i
valori del coseno corrispondenti, e li riportiamo sul grafico.
Dalla formula x2+ y2 = 1 ponendo
x = cosα e y = senα
otteniamo la prima relazione fondamentale della goniometria:
$${sen^2α+cos^2α=1}$$
Il grafico della tangente si costruisce dalla circonferenza goniometrica utilizzando il segmento verticale
che parte dal punto di ascissa x = 1
e arriva al punto di intersezione con la semiretta del secondo lato dell'angolo.
La funzione ha periodo π.
La tangente ha le seguenti proprietà:
Per risolvere
Sfruttando la circonferenza goniometrica e alcuni particolari triangoli rettangoli possiamo trovare i seguenti valori:
Dato un generico angolo associato, gli angoli associati sono gli angoli analoghi rispetto agli assi.
Nel video a fianco vediamo quelli che mantengono il valore assoluto delle funzioni goniometriche, cioè:
valgono le....
valgono le....
Le funzioni goniometriche inverse....
Le funzioni goniometriche inverse....
Lo sfasamento....
La dilatazione ....
Le funzioni sinusoidali....
La formula di sottrazione del coseno è la seguente:
$${cos(\alpha-\beta)}={cos\alpha}{cos\beta}+{sen\alpha}{sen\beta}$$
Nel video a fianco è riportata la dimostrazione
La formula di addizione del coseno è la seguente:
$${cos(\alpha+\beta)}={cos\alpha}{cos\beta}-{sen\alpha}{sen\beta}$$
si ottiene utilizzando la formula di sottrazione, sostituendo a + β l'angolo
-(-β)
La formula di addizione del seno è:
$${sen(\alpha+\beta)}={sen\alpha}{cos\beta}+{sen\beta}{cos\alpha}$$
La formula di sottrazione del coseno è la seguente:
$${sen(\alpha-\beta)}={sen\alpha}{cos\beta}-{sen\beta}{cos\alpha}$$
Nel video a fianco è riportata la dimostrazione
La formula di addizione della tangente è la seguente:
$$ {tan(\alpha+\beta)}=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta} $$
Nel video a fianco è riportata la dimostrazione
La formula di sottrazione della tangente è la seguente:
$$ {tan(\alpha-\beta)}=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta} $$
Nel video a fianco è riportata la dimostrazione
La formula di duplicazione del seno è:
$${sen2\alpha}={2sen\alpha}{cos\alpha}$$
Si ottiene dalla formula di addizione del seno, sostituendo a β l'angolo α
Le formule di duplicazione del coseno sono:
$${cos2\alpha}={cos^2\alpha-sen^2\alpha}$$
$${cos2\alpha}={1-2sen^2\alpha}$$
$${cos2\alpha}={2cos^2\alpha-1}$$
La formula di duplicazione della tangente è:
$${tan2\alpha}=\frac{2tan\alpha}{1+tan^2\alpha}$$
Si ottiene dalla formula di addizione della tangente, sostituendo a β l'angolo α
La formule sono:
$${sin^2\alpha}=\frac{1-cos2\alpha}{2}$$
$${cos^2\alpha}=\frac{1+cos2\alpha}{2}$$
La formula di bisezione del coseno è:
$${cos}\frac{\alpha}{2}={\pm\sqrt\frac{1+cos\alpha}{2}}$$
La formula di bisezione del seno è:
$${sen}\frac{\alpha}{2}={\pm\sqrt\frac{1-cos\alpha}{2}}$$
Una prima formula di bisezione della tangente è:
$${tan}\frac{\alpha}{2}={\pm\sqrt\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}$$
Una seconda formula di bisezione della tangente è:
$${tan}\frac{\alpha}{2}={\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}}$$
Una terza formula di bisezione della tangente è:
$${tan}\frac{\alpha}{2}={\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}}$$
La trigonometria studia le relazioni tra lati e angoli di un triangolo.
Sfrutteremo la nomenclatura che associa alla lettera dei vertici (esempio A),
gli angoli adiacenti con le rispettive lettere greche minuscole (esempio α)
e i lati opposti con le corrispondenti lettere minuscole dell'alfabeto italiano (esempio a).
Il primo teorema dei triangoli rettangoli afferma che un cateto è pari al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, oppure per il coseno dellangolo adiacente:
Il secondo teorema dei triangoli rettangoli afferma che un cateto è pari al prodotto dell'altro cateto
per:
la tangente dell'angolo opposto che vogliamo trovare,
oppure per la cotangente dell'angolo adiacente :
Risolvere un triangolo significa trovare tutti i suoi lati e tutti i suoi angoli.
Servono 2 misure, di cui una deve essere un lato.
Per cui abbiamo 4 casi:
L'area di un triangolo qualunque è data dal semiprodotto dei lati
per il seno dell'angolo compreso.
$$Area=\frac{lato1·lato2·seno (angolo Compreso)}{2}$$
Il teorema della corda afferma che in una circonferenza la misura della corda è pari
al prodotto del diametro per il seno di uno degli angoli che insistono sulla corda:
corda=diametro·seno (angolo sulla corda)
Dal teorema della corda, con una formula inversa, si ricava il raggio tramite una delle seguenti relazioni:
$$r=\frac{a}{2sen α}=\frac{b}{2sen β}=\frac{c}{2sen γ}$$
Il teorema dei seni afferma che in un triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti
$$\frac{a}{sen α}=\frac{b}{sen β}=\frac{c}{sen γ}$$
Il teorema del coseno è una estensione del teorema di Pitagora, ed fferma che un lato è pari alla radice della somma dei quadrati degli altri due, diminuita del doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo compreso: $$a=\sqrt{b^2+c^2-2bccos α}$$ $$b=\sqrt{a^2+c^2-2accos β}$$ $$c=\sqrt{a^2+b^2-2abcos γ}$$
Per risolvere un triangolo servono tre suoi elementi, di cui almeno un lato.
Per cui abbiamo 4 casi:
La dilatazione è una trasformazione geometrica che associa ad un punto P....